Một chứng minh của công thức Euler vĩ đại

Đối với mình, công thức Euler là một công thức đẹp nhất trong toán học, có thể so sánh giống như công thức $E=mc^2$ của Einstein. Tuy nhiên, suốt một thời gian dài ngần nấy năm, mình chỉ chấp nhận nó mà không chứng minh, hoặc có chăng là chỉ chứng minh thông qua dãy khai triển Taylor. Gần đây mình tìm thấy một phương pháp chứng minh rất tường minh, rất đẹp từ biến đổi đạo hàm. Xin ghi lại để chia sẻ cùng các bạn.

Nhắc lại công thức Euler:

Đặt $\displaystyle f(x) = \frac {\cos x + i\sin x} {e^{ix}}$. Mục tiêu là ta sẽ đi chứng minh $f(x)=1$

Ta viết lại $f(x) = ({\cos x + i\sin x} )e^{-ix}$ cho dễ nhìn. Giờ ta đi tính đạo hàm của $f(x)$

Ta đặt $u(x)=\cos x + i \sin x$ và $v(x)=e^{-ix}$, vậy $f(x)=u(x).v(x)$, áp dụng công thức:

Thì lúc đó:

Wow, khi $f'(x)=0$ thì $f(x)$ là HẰNG SỐ. Từ đây ta đơn giản chỉ cần tính một giá trị cụ thể của $x$ là biết được toàn bộ $f(x)$.

Chọn $x=0$, ta có $\displaystyle f(0) = \frac {\cos 0 + i \sin 0} {e^{i0}} =1$, vậy $f(x)=1, \forall x$

Từ đó suy ra công thức Euler vĩ đại: