Công Thức Tính Tổng Lũy Thừa: Bí Kíp HSG Toán Cấp 2

Bài viết này, mình viết dành cho các em cấp 2 (thường là lớp 6, lớp 7) muốn thi học sinh giỏi.

... Khởi đầu từ hằng đẳng thức mà các em đã rất quen thuộc:

a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\\ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Bây giờ, nếu ta chọn $b=1$ , thì hằng đẳng thức trên sẽ trở thành:

a^2-1^2 = a^2-1 = (a-1)(a+1)\\ a^3-1^3 = a^3 - 1= (a-1)(a^2+a+1)

Mở rộng chút nữa, giả sử ta có $a^n - 1$ thì sao? Lúc này, ta sẽ có:

a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a+1)

Chúng ta cùng chứng minh công thức này dưới đây:

Đặt $S=a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a+1$ , ta nhân $a$ cả 2 vế để có:

aS = a(a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a+1) \\ aS = a^n+a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a \\

Bây giờ bên vế phải ta cộng $1$ , rồi lại trừ đi $1$ (nghĩa là không đổi giá trị), để xem chúng ta có gì:

aS = a^n+a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a + 1 - 1\\ aS = a^n+\underbrace{(a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a + 1)}_{=S} - 1 \\ aS = a^n + S - 1

Bây giờ ta đã có $aS=a^n+S-1$ , đem $S$ sang vế trái ta có:

a^n-1 = aS-S \\ a^n-1 = (a-1)S\\ a^n-1 = (a-1)(\underbrace{a^{n-1} +a^{n-2}+\dots+a + 1}_{=S})

Ta vừa chứng minh xong công thức. Nhờ vào công thức này, chúng ta sử dụng nó để giải rất nhiều bài tập có dạng tổng lũy thừa.

Bài toán 1: Tính tổng $A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{100}$

Giải:

Áp dụng công thức, ta có: $2^{101}-1 = \underbrace{(2-1)}_{=1}(1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{100})$

Vậy $A=2^{101}-1$

Bài toán 2: Cho $C = 1 - 2 + 2^2 - 2^3 + ... - 2^{99} + 2^{100}$ , và $D=1+2+2^2+\dots+2^{100}$ , hãy so sánh $C$ và $\displaystyle \frac D 3$

Giải:

Theo bài 1, ta có $D=2^{201}-1$

Ta có:

2C = 2(1 - 2 + 2^2 - 2^3 + ... - 2^{99} + 2^{100})\\ 2C = 2-2^2+2^3-\dots-2^{100}+2^{101}

Vì các dấu của số hạng cùng mũ ở $C$ và $2C$ ngược nhau, ta thực hiện cộng hai vế:

2C+C = \underbrace{(2-2^2+2^3-\dots-2^{100}+2^{101})}_{=2C} + \underbrace{(1 - 2 + ... - 2^{99} + 2^{100})}_{=C} \\ 3C = 2^{101}+1

Vậy $C=\frac{2^{101}+1} 3$ , như vậy $C \gt \frac D 3$ .

Bài toán 3: Tính tổng $E=1+5^2+5^4+\dots+5^{2n}$ với $n \in \N$

Giải:

Ta tính $5^2E = 5^2(1+5^2+5^4+\dots+5^{2n}) = 5^2+5^4+\dots+5^{2n+2}$

Vậy $5^2E =25E = 5^{2n+2} + \underbrace{(5^n + \dots + 5^4 + 5^2 + 1 )}_{=E}- 1$ (ở đây ta dùng kỹ thuật cộng $1$ rồi lại trừ $1$ )

Từ đó ta có:

25E = 5^{2n+2} + E -1 \\ 25E - E = 24E = 5^{2n+2} -1 \\

Vậy $\displaystyle E = \frac {5^{2n+2}-1} {24}$

Bài toán 4: Để ý là có thể sử dụng công thức $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1}+\dots+a+1)$ với cả phân số chứ không chỉ số nguyên. Ví dụ, hãy tính:

F=1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \dots \frac 1 {2^n}

Áp dụng công thức:

\displaystyle a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1}+\dots+a+1) \implies \frac {a^n-1} {a-1} =a^{n-1}+\dots+a+1

Nên có thể kết luận ngay:

F = \frac {1 - \frac 1 {2^{n+1}}} {1-\frac 1 2} = 2 - \frac 1 {2^n}

Bài toán 5: Tính tổng $\displaystyle H = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{n}{2^n}$

Giải: Hãy tính $2H$ , rồi sau đó tính $2H-H$ để suy ra $H$ là bao nhiêu, vế phải sẽ tự triệt tiêu một cách kỳ diệu.

Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ , ta luôn có:

\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{3^{n}}<\frac{1}{2}

Các em tự làm bài này nhé.

[Toán sơ cấp] Chút bàn luận về tổng lũy thừa